Question

三棱锥中，，，.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，且异面直线和的夹角为时，求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据条件先证明点在平面上的射影是的外心，进一步证明平面经过平面的一条垂线，从而可证明平面平面；（Ⅱ）首先根据条件并结合（Ⅰ）的结论建立空间直角坐标系（如下），并在此基础上求出各个相关点的坐标以及平面与平面的法向量，进而可求得二面角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）作平面于点，因为，所以，即为的外心，

又因为中，，故为边的中点，所以平面，即证：平面平面.

（Ⅱ）因为中，，，所以

因为，且异面直线与的夹角为，

所以，所以为正三角形，可解得.

以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则

，，，

，所以.

设平面的法向量为

因为，

由，取

平面的法向量为

所以.

由图可知，所求二面角为钝角，其的余弦值为.

考点：1、面面垂直；2、异面直线所成的角；3、二面角的平面角.