Question

已知函数f（x）=﹣alnx++x（a≠0）．

（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）））处的切线与直线x﹣2y=0垂直，求实数a的值；

（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅲ）当a∈（﹣∞，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤﹣e^﹣4．

Answer

（Ⅰ）或；（II）时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上递增，在上递减； (III)证明见解析.

【解析】

试题分析：（I）先对进行求导，由可求；（II），通过比较与的大小、解不等式，从而可求函数单调区间；(III) 由（II）可知，当时，函数的最小值，结合已知可求，然后结合巳知单调性，从而可证．

试题解析：（I）由已知可知 的定义域为 ，，

根据题意可得，，，或；

（II） ，①时，由，可得，由

可得，在上单调递增，在上单调递减；②时，由得，由得，在上递增，在上递减；

(III) 由（II）可知，当时，函数的最小值，故，则，令可得，，当变化时，的变化的情况如下表

是在上的唯一的极大值，从而是最大值点，当时，时，.

考点: 1、利用导数研究函数的单调性、研究函数的最值及切线斜率；2、证明不等式成立.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值及切线斜率、证明不等式成立，属于难题，利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值.