Question

如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x²+y²﹣4y﹣4=0，双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．

（1）试求双曲线的标准方程；

（2）记双曲线的左、右焦点为F₁、F₂，试在“8”字形曲线上求点P，使得∠F₁PF₂是直角．

Answer

（1）；（2） ，，，.

【解析】

试题分析：（1）根据圆的方程求出半圆的圆心和半径，求得圆与轴的交点，即有，令，解得交点，代入双曲线方程，解得，进而得到双曲线的方程；（2）求出焦点坐标，是直角，则设，则有，联立两半圆的方程及双曲线方程，解得交点，注意检验，即可得到所求的的坐标.

试题解析：（1）上半个圆所在圆方程是，则圆心为，半径为．

则下半个圆所在圆的圆心为，半径为．双曲线的左、右顶点、是该圆与轴的交点，即为，，即 ，由于双曲线与半圆相交于与轴平行的直径的两端点，则令 ，解得， ．即有交点为 ．设双曲线的方程为 ，则 ，且，解得．则双曲线的方程为 .

（2）双曲线的左、右焦点为 ，

若是直角，则设，则有，

由 解得，，

由 解得， ，不满足题意，舍去．

故在“”字形曲线上所求点的坐标为 ，，，．

考点: 1、待定系数法求双曲线的标准方程；2、曲线交点与曲线方程之间的关系.