Question

已知点P（a，﹣1）（a∈R），过点P作抛物线C：y=x²的切线，切点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．

（Ⅰ）求x₁与x₂的值（用a表示）；

（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线AB相切，求圆E面积的最小值．

Answer

（Ⅰ）；（II）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由可得，，直线与曲线相切，且过点，，即，可求出，同理可求出；（Ⅱ）以点为圆心的圆与直线相切，利用建立与的函数关系，，平方后利用基本不等式求最值，进而求得圆面积的最小值．

试题解析：（Ⅰ）由可得，，直线与曲线相切，且过点，

，即，，或，

同理可得：，或．

，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

则直线的斜率，

直线的方程为：，又，

，即．

点到直线的距离即为圆的半径，即，

，

当且仅当，

即，时取等号．

故圆面积的最小值．

考点: 1、利用导数求切线斜率；2、直线与圆的位置关系及利用基本不等式求最值.