Question

已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于,两点，问：△的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．

Answer

（1）；（2）是定值，定值为6．

【解析】

试题分析：（11）求椭圆的标准方程，由焦点坐标得，再把点的坐标代入，可得的一个方程，再结合可解得，从而得椭圆标准方程，当然也可由椭圆的定义得出长轴长；（2）本小题属于解析几何中的探索性命题，是直线与椭圆相交的综合性问题，解决的一般方法是设直线的方程为，由它是圆的切线可得的关系，把直线方程代入椭圆方程整理得的二次方程，设设，则，，由弦长公式得弦长，计算（用表示即可），再计算三角形的周长，化简可得，如是常数，说明结论是肯定的，如不是常数，说明结论是否定的．

试题解析：（1）『解法1』：

(1)由题意，得，解得 ∴椭圆方程为.

『解法2』：右焦点为，

左焦点为，点在椭圆上

所以，，所以椭圆方程为．

（2）『解法1』：由题意，设的方程为

∵与圆相切 ∴，即

由，得

设，则，

∴

又

∴

∴（定值）

『解法2』：

设 ，

连接，由相切条件知：

，

同理可求

所以为定值．

考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交综合问题，探索性命题．

【名师点睛】直线与圆锥曲线相交的弦长问题，一般弦所在直线方程为，代入圆锥曲线方程后得（或）的一元二次方程，设交点为，则弦长．

2．求定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．