Question

将图①中正方形沿着对角线对折，并使平面平面，从而构成图②中的三棱锥，点、分别是线段、的中点．请在图②的三棱锥中解答如下问题：

（1）求二面角的正切值；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）立体几何中求二面角，可以根据定义作出二面角的平面角，而作平面角的主要方法其关键是作平面的垂线，本题中有平面平面，只要取的中点，则有，从而有平面，再在两个面内找棱的垂线即可，由于原图形是正方形，因此，从而，于是有，是二面角的平面角，在中可求得此角；（2）求异面直线所成的角，也是根据定义作出这个角，一般是过异面直线中一条上的一点作（找）另一条平行线，注意平行线只能在平面上都能作出，故找“平面”特别重要，题中过的平面与交于点，因此只要过作的平行线即可（取中点，连接，则有），解相应三角形可得（注意的是异面直线所的角为锐角或直角）．

试题解析：（1）取线段中点，连接

由，故，平面平面并交于，故平面．

又∥，，故

而是在平面内的射影，由三垂线定理：．

所以是二面角的平面角

设，因此，，

（2）连接，取中点，连接，

由分别是的中点，故∥，

异面直线与所成角为（或其补角）．

设，因此，

在（1）中，，且，

故，

因此，

在中，，

故：

．

所以，异面直线与所成角的余弦值为

考点：二面角，异面直线所成的角．

【名师点睛】立体几何中求空间角要有三个步骤“作”，“证”，“算”．即：

1．根据角的定义作出空间角的“平面角”；

2．证明所作的角是空间角的“平面角”；

3．在相应三角形中计算出这个角（或三角函数值）．