Question

若数列中不超过的项数恰为，则称为数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数．

（1）已知，且，写出；

（2）已知，且，求的前项和；

（3）已知，且，若数列中，是公差为的等差数列，且，求的值及的值．

Answer

（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据定义关于的不等式的整数解有个，因此；（2）关于的不等式解为，对按奇偶分类可得整数解个数，，其前项和也是按奇偶分类求得，注意先求是偶数时的结论，是奇数时，可用来求；（3）由成等差数列，设，根据定义，求得，则有，，，从而有（*），对这个不等式进行处理（把问题简单化），由，，得，这样有，分别代入（*）式，只有时都能成立，由此确定，同时得出，．那么由可以确定只能在中取值，分类讨论求出值即可．

试题解析：（1），则，∴；

，则，∴；

，则，∴．

（2）为偶数时，则，则；

为奇数时，则，则；

∴，

为偶数时，则；

为奇数时，则；

∴

（3）依题意：，

设，即数列中，不超过的项恰有项，所以，

同理：，可得：

，

，

，

故，

由以下关系：

，

，

得，

∵为正整数，∴．

当时，，

不合题意，舍去；

当，，

不合题意，舍去；

当时，，

，适合题意．

此时，∴．

∵，∴，

∵为整数，∴．

∵，

∴，∴．

当时，，∴无解．

当时，，∴无解．

当时，，∴．

当时，，∴无解，

∴．

∵，∴．

综上：．

考点：新定义，归纳推理，分类讨论．