Question

已知圆：，直线：．

（1）若直线被圆截得的弦长为，求实数的值；

（2）当时，由直线上的动点引圆的两条切线，若切点分别为，，则在直线上是否存在一个定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)；(2) 在直线上存在一个定点，定点坐标为.

【解析】

试题分析：(1)根据直线与圆相交，利用弦长公式即可；(2)根据直线与圆相切的条件，列出方程进行求解判断.

试题解析：(1)圆的方程可化为，

故圆心为，半径.

则圆心到直线的距离为.

又弦长为，则，

即，解得.

(2)当时，圆的方程为 ①

则圆心为，半径，圆与直线相离.

假设在直线上存在一个定点满足条件，设动点，

由已知得PA⊥AC，PB⊥BC，

则在以为直径的圆即②上，

①—②得，直线的方程为 ③

又点在直线上，则，即，代入③式

得，

即直线的方程为

因为上式对任意都成立，故，得.

故在直线上存在一个定点，定点坐标为

考点：直线与圆的位置关系.