Question

已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍。

（1）求点的轨迹方程；

（2）过点的直线与点的轨迹相交于两点，点，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由。

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据题意，利用两点间的距离公式列方程，化简即可；（2）直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于x(或y)的一元二次方程，设出交点坐标A（）、B（），利用韦达定理得出坐标的关系,同时注意判别式大于零求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上来再求解。注意圆锥曲线问题中，常参数多、字母多、运算繁琐，应注意设而不求的思想、整体思想的应用。由过点的直线与点的轨迹相交于两点，知的斜率一定存在，可设，得；联立方程组，得到关于的一元二次方程，利用判别式求得斜率的取值范围；由点到直线的距离公式得：点到直线的距离；利用韦达定理得，；利用两点间的距离公式得，代入得；利用三角形的面积公式得到关于的表达式；将的取值代入，利用不等式的性质得，当时，取得最大值2，得到此时，代入直线方程即可.

试题解析：

【解析】
（1）由已知，，

∴，即，

（2）由题意知的斜率一定存在，不妨假设存直线的斜率为k，且。则，

联立方程：，

∴，

又∵直线不经过点，则。

∵点到直线的距离，，

∴，

∵，

∴当时，取得最大值2，此时，

∴直线的方程为。

考点：曲线方程的求法；两点间的距离公式；直线方程；点到直线距离公式；数形结合思想.