Question

如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，，点在侧棱上，且。

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积。

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）要证明线线垂直，可先证明线面垂直，再根据一条直线在平面内证明线线垂直即可；本题需构造平面，由已知可取的中点为，连接，证明平面，再得到.

（2）因为三棱锥和三棱锥同底，由（1）知，是三棱锥的高，作出三棱锥的高为，由∽得到长，利用三棱锥的体积公式求解即可.

试题解析：【解析】
（1）设的中点为，连接。

由已知，，底面，

∵平面，

∴，

又∵，

∴平面，

∵平面，

∴。

（2）在边上找一点，连接，使。

由已知，底面，

∴底面，

又由已知，

则

∵∽，且则，,

∴。

考点：直线与直线、直线与平面垂直的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三棱锥的体积.