Question

已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍。

（1）求点的轨迹方程；

（2）若点与点关于点对称，点，求的最大值和最小值；

（3）过点的直线与点的轨迹相交于两点，点，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由。

Answer

(1) ;(2) 的最大值为，的最小值为;

(3) 直线的方程为

【解析】

试题分析：(1)根据直接法，用坐标表示和,化简后即的点的轨迹；

（2）根据相关点法求点的轨迹，然后根据两点间的距离表示，那么根据的轨迹，得到其几何意义，根据几何意义求最值；

试题解析：【解析】
（1）由已知，，

∴，即，

（2）设，因为点与点关于点对称，则，

∵点在圆上运动，

∴点的轨迹方程为

∵

设，圆的圆心为，半径为，。

则，，

∴的最大值为，的最小值为。

（3）由题意知的斜率一定存在，设直线的斜率为k，且。

则，

联立方程：，

∴，

又∵直线不经过点，则。

∵点到直线的距离，，

∴，

∵，

∴当时，取得最大值2，此时，

∴直线的方程为。

考点：