Question

设，函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围．

Answer

(1) ；（2）.

【解析】

试题分析：(1)当时，根据函数的解析式求得切点坐标，由导数的几何意义求出切线的斜率，根据直线的点斜式方程即可得到切线方程；（2）先讨论函数的符号，由于，所以可分离参数得到，构造函数，利用导数研究的单调性求出其最大值，求得实数的取值范围，再确定函数的符号，再分离参数，构造新函数，求得函数的最小值，综合以上过程即得实数的取值范围.

试题解析:（1）当时，，∴，∵，

∴曲线在点处的切线方程为即．

（2）若对恒成立，即对恒成立，则，

设，则，

当时，，函数递增；当时，，函数递减，所以当时，，∴．

∵无最小值，∴对恒成立不可能．

∵对恒成立，∴，即对恒成立．

设，∴，当时，，函数递减；

当时，，函数递增，所以当时，，∴．

综上可得，．

考点：导数的几何意义及利用导数求函数在给定区间上的极值、最值.

方法点睛：本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.导数的几何意义就是曲线在切点处的切线斜率，对于第二问不等式在给定区间上的恒成立，首先要注意分析不等式的结构特征——乘积大于零，可分别讨论函数的符号，通过分离参数构造新函数，分别研究它们的单调性得到其在上的极值、最值，即可求出实数的范围.