Question

如图，椭圆的左、右顶点分别为，焦距为，直线与交于点，且，过点作直线交直线于点，交椭圆于另一点．

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：为定值．

Answer

(1) ；（2）.

【解析】

试题分析：(1)在直角三角形中根据勾股定理表示出，再结合焦距及解方程组，即可求得；（2）写出直线的方程代入椭圆方程整理，根据韦达定理和点的坐标求出的坐标，由向量数量积的坐标表示代入整理即可为常数.

试题解析: （1）由题可得，∴，

∴椭圆的方程为．

（2），设，

则，

直线的方程为：，即，

代入椭圆方程，得，

由韦达定理得，

∴，∴，

∴，即为定值．

考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆位置关系中的定值问题.

方法点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，属于中档题.求椭圆的方程，常用待定系数法，先由题意确定焦点位置设出方程，列出待定系数的方程组注意这一隐含条件，解方程组即可；关于直线与椭圆位置关系中的定值问题往往根据韦达定理表示出待证的量，整理式子的值是否是与参数无关的常数，本题的技巧在于已知一个交点坐标，可通过韦达定理和直线方程求出另一个交点坐标，这样可以减少运算量，提高解题的速度和准确率.