Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，S_n=n²+n．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）设{}的前n项和为T_n，求证T_n＜1．

Answer

（1）an=2n．（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）利用公式an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2），得当n≥2时an=2n，再验证n=1时，a1=2×1=2也适合，即可得到数列{an}的通项公式．

（2）裂项得=﹣，由此可得前n项和为Tn=1﹣＜1，再结合∈（0，1），不难得到Tn＜1对于一切正整数n均成立．

【解析】
（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．

∵n=1时，a1=2×1=2，也适合

∴数列{an}的通项公式是an=2n．

（2）==﹣

∴{}的前n项和为Tn=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=

∵0＜＜1

∴1﹣∈（0，1），即Tn＜1对于一切正整数n均成立．

考点：数列与不等式的综合；等差数列的前n项和．