Question

已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．

（Ⅰ）求椭圆E的离心率；

（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）²+（y﹣1）²=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．

Answer

（Ⅰ）e=；（Ⅱ）椭圆E的方程为+=1．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．

【解析】
（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，

则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，

e===；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①

由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，

易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得

（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=．x1x2=，

由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，

从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=•|x1﹣x2|=•

==，解得b2=3，

则有椭圆E的方程为+=1．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．