Question

如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．

（Ⅰ）证明AB⊥A₁C；

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；

（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．

【解析】
（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，

因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，

所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，

又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，

又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，

所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．

以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，

可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），

则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），

设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，

可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，

又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，

故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．

考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．