Question

已知函数f(x)＝ln x＋＋b(a，b∈R)在定义域上单调，且函数的零点为1.

（1）求a(b＋2)的取值范围；

（2）若曲线y＝f(x)与x轴相切，求证＋＋＋…＋<ln n(n∈N且n>2)．

Answer

（1）；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由函数的零点为可求得满足关系式，因为函数在定义域上单调，所以可先求得其导函数，则有导函数在定义域上为非负数或者为非正数，从而求出的范围，进而求出的范围；（2）曲线轴相切，结合题干中零点条件，可知且点为，从而可求得的值，又在定义域上为增函数，所以恒有，利用累加法可求得分母为奇数部分，因为，所以可求得分母为偶数部分，两部分相加便可得证．

试题解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝＝.

又函数f(x)的零点为1，由f(1)＝0，故＋b＝0，b＝－.

∵函数f(x)单调，若f(x)为增函数，则对任意x∈(0，＋∞)，f′(x)≥0且f′(x)不恒为0，

∴x2－(a－2)x＋1≥0，(a－2)≤x＋，∴(a－2)≤2，∴a≤4.

若f(x)为减函数，则对任意x∈(0，＋∞)，f′(x)≤0且f′(x)不恒为0，

则x2－(a－2)x＋1≤0，(a－2)≥x＋，又y＝x＋≥2，∴(a－2)≥x＋不恒成立．

综上所述，∴a≤4.又∵b＝－，∴a(b＋2)＝ (a－2)2＋2.

∴a(b＋2)的取值范围是(－∞，2]

(2)∵曲线y＝f(x)与x轴相切，切点为(1，0)且f′(1)＝0，∴a＝4，b＝－2.

由(1)得函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

又f(1)＝0，∴当x≥1时，f(x)≥f(1)＝0，

∴ln x≥2－.令x＝1＋ (k∈N*)，有ln≥2－，

∴ln(1＋k)－ln k>；∴当n≥2时，令k＝1，2，3，…，n－1，

ln 2－ln 1＞，ln 3－ln 2＞

ln n－ln(n－1)＞，

以上各式累加得：．

∵>，∴，

∴成立.

考点：函数的单调性与零点.

【思路点睛】题中因为上为增函数，因为正负未知，无法判断其单调性，当时，恒为增函数，但是当时，函数究竟是增函数还是减函数只能通过导函数来判断，所以在求单调性以及的范围时首先要求导函数；对于第二问中的累加法，需要结合函数，因为此函数中有一项就是，但是不能直接利用，需要对其变形，结合单调性得到，方可进行累加求和.