Question

已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线与圆相交所得弦的长度为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线交椭圆于不同的两点，，设，，其中为坐标原点.当以线段为直径的圆恰好过点时，求证：的面积为定值，并求出该定值.

Answer

（1）；（2）三角形的面积为定值，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）先由椭圆的离心率得出的一个关系式，再根据直线与圆相交所得弦的长度为，得到的一个关系式，然后联立即可求出的值，进而得到椭圆的方程；（2）先联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理及得到的长度，再表示出到直线：的距离，进而表示出三角形的面积，再进行化简即可证得三角形的面积为定值.

试题解析：（1）由题意知：，得，即①

因为直线过左焦点且倾斜角为，可得直线方程为，

又因为直线与圆相交弦长为，

所以圆心到直线的距离，

再由勾股定理得：，②

由①②联立：，可知，

即椭圆方程为.

（2）设，

则，

消得：，即，

因为交于不同两点，所以，

，即，

由韦达定理得：，，

由题意知：，即，又，，

所以，

即，

整理，得，

即，⑤

因为，

又到直线的距离，

所以⑥，

将⑤代入⑥得：，

综上，三角形的面积为定值.

考点：1、椭圆；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.

【思路点睛】本题是一个直线与圆锥曲线的位置关系方面的综合性试题，属于难题.解决本题的基本思路是，对于（1）先由椭圆的离心率得出的一个关系式，再根据直线与圆相交所得弦的长度，得到的一个关系式，然后联立即可求出的值，进而得到椭圆的方程；对于（2）先联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理及得到的长度，在表示出到直线：的距离，进而表示出三角形的面积，再进行化简即可证得三角形的面积为定值.