Question

已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若垂直于轴，求直线的斜率；

（3）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）；（2）；（3）直线与直线平行，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆方程得出的值，进而得到椭圆的离心率；（2）由于垂直于轴,可以先设出点的坐标，推出点的坐标，再由两点坐标得到直线的方程，并推出点的坐标，最后根据的坐标即可得到直线的斜率；（3）首先注意讨论直线的斜率是否存在，当直线的斜率不存在时，由（2）容易推出结论；当直线的斜率存在时，可设出其方程，与椭圆联立并结合韦达定理即可判断出结论成立.

试题解析：（1）椭圆的标准方程为，所以．

所以椭圆的离心率．

（2）因为过点且垂直于轴，所以可设．

直线的方程为 ． 令，得．

所以直线的斜率．

（3）直线与直线平行，证明如下：

当直线的斜率不存在时，由（2）可知．

又因为直线的斜率，所以．

当直线的斜率存在时，设其方程为 ．

设，则直线的方程为，

令，得点，

由，得．

所以．

直线的斜率，

因为，

所以，

所以，

综上可知，直线与直线平行．

考点：1、椭圆及离心率；2、直线的斜率及直线的位置关系.

【思路点晴】本题是一个椭圆与直线的综合性问题，属于难题，解决本题的基本思路是：对于（1）根据椭圆方程得出的值，进而得到椭圆的离心率；对于（2）由于垂直于轴,可以先设出点的坐标，推出点的坐标，再由两点坐标得到直线的方程，并推出点的坐标，最后根据的坐标即可得到直线的斜率；而对于（3）首先注意讨论直线的斜率是否存在，当直线的斜率不存在时，由（2）容易推出结论，当直线的斜率存在时，可设出其方程，与椭圆联立并结合韦达定理即可判断出结论成立.