Question

已知函数，其中.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若存在，使得，求实数的取值范围.

Answer

（1）时，减区间是，时，减区间是，增区间是；（2）.

【解析】

试题分析：（1）这是一个利用导数研究函数的单调区间的问题，应先确定函数的定义域，然后再对函数求导，并分别针对的不同取值进行讨论，就可得到的单调区间；（2）首先根据关系式把从中分离出来，再通过构造函数并求出其最值，即可得到实数的取值范围.

试题解析：（1）因为

若则对恒成立，

所以，此时的单调递减区间为；

若，则时，

所以，的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）因为，所以，，即

若存在，使得成立，只需的最小值

设，则时，

所以在上减，在上增，所以时，取最小值

所以.

考点：1、导数在函数研究中的应用；2、单调区间；3、最值.

【思路点晴】本题是一个利用导数研究函数的单调区间、求极值等方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，首先应根据函数关系式求出函数的定义域，再对函数进行求导，并针对实数的不同取值加以讨论，就可以得到函数的单调区间；至于第二问求的取值范围，解决问题的切入点是不等在上有解，然后再结合构造函数并求其最值即可得到的范围.