Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于两点，使得，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）本题可以先由离心率得出的关系，进而得到的一个关系式，再根据点在椭圆上，得到第二个关于的关系式，联立两式即可求得椭圆方程；（2）设出直线的方程并联立椭圆方程，再结合韦达定理，就可求出直线的斜率，进而得到直线方程.

试题解析：（1）设椭圆的方程为

由题意得且

解得所以椭圆的方程为；

（2）设直线的方程为，代入椭圆的方程

化简得，设

则①

又

其中

所以

把①代入上式可解得，所以直线的方程为.

考点：1、椭圆的方程；2、离心率，焦点；3、直线的方程.

【思路点晴】本题是一个关于圆锥曲线方面的综合性问题，属于难题.对于（1）解决的基本思路是通过已知条件，得到关于的两个关系式，并联立即可求出椭圆的方程；对于（2）解决的基本思路是求直线的斜率，为此需将直线与椭圆先联立，利用韦达定理，并结合条件就可求出直线的斜率，最终得到直线的方程.