Question

如图，已知四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，底面为菱形，

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若求四棱锥的体积.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证，可先证明线面垂直，即垂直于所在的平面，进而得到线线垂直；（Ⅱ）可以先求出底面的面积，再根据（Ⅰ）的结论作出的高，并证明此高也是四棱锥的高，再求出其值，即可得到四棱锥的体积.

试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点连接，

底面为菱形，为正三角形，

又为的中点，

侧面为正三角形，为的中点

面，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）面得：面面，作于面;

由侧面为边长等于的正三角形、为正三角形、为的中点得：,又设的中点为

考点：1、线线垂直，线面垂直；2、棱锥的体积.