Question

已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且，已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为.

（1）求抛物线和椭圆的方程；

（2）若过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，求三角形（为坐标原点）的面积的最大值.

Answer

（1），；（2）．

【解析】

试题分析：（1）设，代入抛物线方程中，得，∴，又，解得；对于椭圆来说由已知得，则，所以椭圆的标准方程为；（2）因为直线斜率可能不存在，所以可设直线方程为，联立方程求出弦长和点到直线的距离，得到三角形的面积表达式为：，利用基本不等求解即可．

试题解析：（1）设，代入抛物线方程中，得，∴，

又，，∴，

∴抛物线的方程为，在椭圆中，，∴，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由题意可知，设直线的方程为，且，，

由，得，，

，

令，则，，又∵在上单调递增，

∴，∴的最大值为.

考点：1.抛物线的定义；2.最值问题；3.基本不等式．