Question

设数列的前项和为，已知.

（1）求的值，并求数列的通项公式；

（2）若数列为等差数列，且，，设，数列的前项和，证明：对任意，是一个与无关的常数.

Answer

（1），；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）当时，，即，所以，再利用当时，，注意验证时是否成立；（2）根据已知条件可求出，则要求数列的前项和利用错位相减法求解，代入中即可．

试题解析：（1）当时，，即，所以，

因为，所以，

两式相减，得，即，

所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，故.

（2）因为，则. 又，则.

设的公差为，则，所以，

所以

由题意，则

两式相减，得

所以

故为常数.

考点：1.等差数列；2.由求；3.错位相减法．

【易错点晴】本题主要考查的是数列中与的关系和错位相减法，属于中档题．对于数列中与的关系，一定注意当时，，必须验证当时是否成立．另外对于错位相减法，学生容易掌握但计算容易出现问题，解题时一定要强调学生的计算，否则很容易出现错误．