Question

已知函数和直线．

（1）当曲线在点处的切线与直线垂直时，求原点到直线的距离；

（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围；

（3）求证：．

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义和两直线垂直的判定得到值，再利用点到直线的距离公式进行求解；（2）作差构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，求导，讨论的取值和函数的单调性进行求解；（3）由（2）构造不等式，利用放缩法和累加法进行求解．

试题解析：（1）

∴，于是 ， 直线l的方程为

原点O到直线l的距离为

（2），

设，即

①若，存在使，，这与题设矛盾…7分

②若，方程的判别式，

当，即时，，

∴在上单调递减，

∴，即不等式成立

当时，方程，设两根为，

当单调递增，与题设矛盾，

综上所述，

（3）由（2）知，当时，时，成立．

不妨令，

所以，

累加可得．即

考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究不等式恒成立问题．

【难点点睛】本题考查导数的几何意义、两直线垂直的判定条件、利用导数研究不等式恒成立问题以及合理赋值、放缩法和累加法、分类讨论思想的应用，属于难题；本题的难点是第三步中的合理赋值和适当放缩，要求学生将第二问的结论和第三问所要证明结论之间的特点分析出来，再能合理赋值、适当放缩.