Question

如图1，在中，，D、E分别为线段AB 、AC的中点，．以为折痕，将折起到图2的位置，使平面平面，连接，设F是线段上的动点，满足．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若二面角的大小为，求的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）先利用线面垂直的性质得到线线垂直，再利用直角三角形得到线线垂直，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明；（2）利用垂直关系建立适当的空间直角坐标系，利用平面的法向量求二面角的余弦值，得到关于的方程进行求解．

试题解析：（Ⅰ）平面平面,

∴平面 ∴

∴

在直角三角形中，

∴得

∴，又

∴

（Ⅱ）作

设BE交DC于O点，连OF，

由（Ⅰ）知，为二面角F－BE－C的平面角

由∴

，∴

在

得，

方法2：，设BE交DC于O点，连OF，

则为二面角F－BE－C的平面角

又 ∴

由得

在直角三角形中，∴

由得从而得，

方法3：以D为坐标原点DB，DE，D分别为OX，OY，OZ轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别为D（0，0，0），（0，0，2），B（2，0，0），

C（2，，0），E（0，，0）．

（Ⅰ）

∵∴

∵∴

又，∴平面

又平面

所以平面平面

（Ⅱ）设

设平面BEF的法向量为

，

取

又平面BEC的法向量为

∴得

解得，

又∵

∴

考点：1.空间中垂直关系的转化；2.空间向量在立体几何的应用．