在直角坐标系中，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
（
），过点
的直线
的参数方程为
（
为参数），直线
与曲线
分别交于
，
两点．
（1）写出曲线
的平面直角坐标方程和直线
的普通方程；
（2）若
，
，
成等比数列，求实数
的值．
如图，直线
为圆的切线，切点为
，点
在圆上，
的角平分线
交圆于点
，
垂直
交圆于点
．
（1）证明：
；
（2）设圆的半径为
，
，延长
交
于点
，求
外接圆的半径．
已知函数
．
（1）求函数
的单调区间；
（2）若
，且
对任意
恒成立，求
的最大值；
（3）对于在区间
上的任意一个常数
，是否存在正数
，使得
成立？请说明理由．
已知椭圆
（
）的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
，过点
作与
轴不重合的直线
交椭圆
于
，
两点，连接
，
分别交直线
于
，
两点，若直线
、
的斜率分别为
、
，试问：
是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取
名同学（男
女
），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表（单位：人）：
（1）能否据此判断有
%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在
分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在
分钟，现甲、乙各解答同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；
（3）现从选择做几何题的
名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被．
抽到的人数为
，求
的分布列及数学期望
．
附表及公式：
如图，在四棱锥
中，底面
是直角梯形，侧棱
底面
，
垂直于
和
，
，
．
是棱
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面
所成的二面角的余弦值；
（3）设点
是直线
上的动点，
与平面
所成的角为
，求
的最大值．
