Question

已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；

（3）对于在区间上的任意一个常数，是否存在正数，使得成立？请说明理由．

Answer

(1) 的单调递增区间为，单调递减区间为;(2);(3) 在正数满足条件.

【解析】

试题分析：(1)求导得到，解不等式与即可得到函数的单调递增区间与单调递减区间； (2) 由变形得 ，构造函数，求导得，研究函数的单调性及最小值，由即可求出的最大值；(3) 构造函数，假设存在这样的满足题意，则，求导研究函数的单调性，求出，证明当时，成立即可.

试题解析：（1）易得，函数定义域为，

且，

当时，，

即在区间上是增函数，

当时，，

即在区间上是减函数．

的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由变形，

得，

整理得，

令，

则．，．

若时，恒成立，

即在区间上递增，

由，即，

解得，．

又，的最大值为．

若时，由，解得，

由，解得．

即在区间上单调递减，在区间上单调递增．

在区间上有最小值，为，

于是转化为（）恒成立，求的最大值．

令，于是．

当时，，单调递减，

当时，，单调递增．

在处取得最大值．

，．

，，，，

，的最大值为．

综上所述，的最大值为．

（3）假设存在这样的满足题意，则

由．（）

要找一个，使（）式成立，

只需找到当时，函数的最小值，满足即可．

，令，得，则，取，

在时，，在时，，

，

下面只需证明：在时，成立即可．

又令，，

则，在时为增函数．

，符合条件，

即存在正数满足条件．

考点：1.导数与函数的单调性与最值；2.函数与不等式.