Question

如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值；

（3）设点是直线上的动点，与平面所成的角为，求的最大值．

Answer

(1)见解析；(2) ；(3) .

【解析】

试题分析：(1) 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应各点的坐标，求出平面的一个法向量 ，由可证； (2)分别求出两个平面的法向量，应用向量公式直接计算即可；(3) 设，则，由向量坐标运算公式，用表示得，利得用二次函数知识即可求其最大值.

试题解析： （1）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，．

，，．

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，得．

，．平面

（2）易知平面的一个法向量为．

设平面与平面所成的二面角为，

易知，

则，即．

平面与平面所成的二面角的余弦值为．

（3）设，则，

易知平面的一个法向量为．

，

当，即时，取得最大值，且．

考点：1.空间向量的应用；2.二次函数.