Question

如图，已知椭圆的四个顶点分别为，左右焦点分别为，若圆C：上有且只有一个点满足，

（1）求圆C的半径；

（2）若点为圆C上的一个动点，直线交椭圆于点,

交直线于点,求的最大值；

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）先根据点满足的条件得到点的轨迹方程，再利用题意判定两圆相切，进而求出半径；（2）利用直线的斜截式设出直线的方程，利用直线与圆有公共点得到直线的斜率的取值范围，再联立直线与椭圆的方程，得到点的坐标，联立两直线方程得到点的坐标,再利用所给比值进行求解．

试题解析：（1）依题意得，

设点，由得： ，化简得，

∴点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，

又∵点在圆上并且有且只有一个点，即两圆相切，

当两圆外切时，圆心距，成立

当两圆内切时，圆心距，不成立

∴

（2）设直线为，

由得,

联立，消去并整理得：，

解得点的横坐标为，

把直线：与直线：联立解得点横坐标

所以

(∵求最大值，显然为正才可能取最大，)

当且仅当时，取等号，

∴的最大值为；

考点：1.点的轨迹方程；2.直线与圆的位置关系；3.直线与椭圆的位置关系．