Question

某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

 

（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；

（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？

附：

P(K^2≥k0)	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

    ，

Answer

（1）；（2）有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”．

【解析】

试题分析：（1）先利用分层抽样的得到男生男生和女生的人数，再列举出基本事件，利用古典概型的概率公式进行求解；（2）先利用频率分布直方图得到有关数据，列出列联表，利用公式求值，再结合临界值表作出判断．

试题解析：(1)【解析】
由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名

分数小于等于110分的学生中，

有60×0.05 = 3(人)，记为A1，A2，A3；女生有40×0.05 = 2 (人)，记为B1，B2

从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，

(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，

其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，

(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，

故所求的概率

(2)【解析】
由频率分布直方图可知，

在抽取的100名学生中，男生 60×0.25 = 15(人)，女生40×0.375 = 15(人)

据此可得2×2列联表如下：

数学尖子生

非数学尖子生

合计

男生

15

45

60

女生

15

25

40

合计

30

70

100

所以得因为1.79 < 2.706.

所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”．

考点：1.分层抽样；2.古典概型；3.频率分布直方图；4.独立性检验思想．