Question

已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．过焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点，直线交椭圆于两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当四边形为矩形时，求直线的方程．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（I）由已知可得：，解得即可得出；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x-2），．与椭圆方程联立化为，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得：线段AB的中点，可得直线OD的方程为：．与椭圆方程联立，解得．利用四边形为矩形，可得,解出即可

试题解析：（Ⅰ）由题意可得

解得，.

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）由题意可知直线斜率存在，设其方程为，点， ，，，

由得，

所以．

因为，

所以中点．

因此直线方程为．

由解得，．

因为四边形为矩形，所以，

即．

所以．所以．

解得．故直线的方程为．

考点：1.椭圆方程及性质；2.直线与椭圆相交的综合问题