Question

某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修甲的概率为，只选修甲和乙的概率是，至少选修一门的概率是，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．

（1）记“函数为上的奇函数”为事件，求事件的概率；

（2）求的分布列和数学期望．

Answer

（1）；（2）分布列见解析，数学期望．

【解析】

试题分析：（1）由函数为上的奇函数，可得，即该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积为，可知，设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为、、，则由题给概率，建立方程组，分别解出三门选修课程的概率，由此计算；（2）由题给信息可知，该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积可能为或，由（1）可得，进而可求的数学期望．

试题解析：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为、、．

依题意得，解得

（1）若函数为的奇函数，则．

当时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选．

事件的概率为．

（2）依题意知或，则的分布列为

的数学期望为

考点：1、相互独立事件概率计算；2、分布列、均值计算．

【思路点睛】本题主要考查相互独立事件的概率和随机变量的分布列，属于容易题．由于学生是否选修哪门课互不影响，可判定为相互独立事件，当函数为上的奇函数时，可得，故，需知道该学生选修甲、乙、丙的概率、、，故进行假设，由题给概率建立方程组进而求解概率，并列出分布列，计算均值．