Question

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落过程中，将次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是．

（1）求小球落入袋中的概率；

（2）在容器入口处依次放入个小球，记为落入袋中小球的个数，试求的概率与的数学期望．

Answer

（1）；（2），．

【解析】

试题分析：（1）在该容器中，当且仅当小球一直向左或一直向右下落时，小球落入袋，可知事件“小球落入袋”与“小球一直向左或一直向右下落”为对立事件，又小球下落过程中，由上及下从第二层障碍物每次向左或向右的概率都为，故小球落入袋的概率为，由对立事件的概率计算可得小球落入袋的概率；（2）由（1）可知小球落入袋的概率为，在容器入口处依次放入个小球，可视为进行独立重复实验次，成功概率为的二项分布，故落入袋中小球的个数服从二项分布，即，由二项分布概率计算公式可得．

试题解析：（1）方法一 记小球落入袋中的概率为，则

由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，

方法二 由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入袋．

（2）由题意：

所以有

考点：1、对立事件的发生概率；2、二项分布．

【思路点睛】本题主要考查对立事件的概率性质和二项分布．解题时应首先仔细分析小球的下落情况，由于小球一直向左或一直向右下落时，小球落入袋，且除此之外小球将落入袋，故利用两事件的对立性，先计算小球落入袋的概率，进而求得小球落入袋的概率，在对（2）的分析中，易得小球落入袋或袋相互独立，故可将放入容器的个小球视为进行实验次，成功概率为的二项分布，由此可计算概率及均值．