Question

已知函数．

（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；

（2）当时，设的两个极值点恰为的零点，求的最小值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）在上为增函数，即对恒成立，整理得

，在恒成立，研究二次函数的图象得实数的取值范围；（2）的两个极值点即为方程的两个不等实根，由韦达定理可得到，可得，可设，可得，也就是求其在上的最小值，利用导数研究单调性即可得到答案.

试题解析：（1）

由题意，即对恒成立，整理得

，即，在恒成立

设显然其对称轴为

∴在单调递增，∴只要，

∴．

（2）

由题意，∴解得，

，

两式相减得，

∴记为，

．

∴在递减，．

∴的最小值为．

考点：利用导数研究函数的单调性、极值、最值及函数与方程的思想方法.

【方法点晴】本题主要考查了导数在研究函数的单调性和极值、最值，同时考查了转化与化归及函数与方程等数学思想，属于难题.本题第一问转化为函数在某区间上的恒成立问题，结合二次函数知识得解，本题解答的难点是第二问中，构造函数的过程，通过研究函数的极值点，构造新函数并得到求定义域，只要突破了这一点，问题便迎刃而解了.