Question

为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率为；现记“该选手在回答完个问题后的总得分为”．

（1）求且的概率；

（2）记，求的分布列，并计算数学期望．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意可知：时，回答个问题后，正确个，错误个，其中第一个题一定是正确的.后面的个题目存在两种情况:一是第二题正确，后面的道可任意回答正确个问题；二是第二个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余个问题可任意回答正确个，结合试验过程和相互独立事件的概率公式即可求解；（2）回答完道题，根据各题回答正确与错误的个数角度共有种情况：全对与全错，对道错道与对道错道，对道错道与对道错道，对应的得分分别是，所以的取值为由次独立试验中事件发生的概率公式求得取各值的概率得到分布列和数学期望.

试题解析：（1）当时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个．若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个．记回答每个问题正确的概率为，则．同时回答每个问题错误的概率为．

故所求概率为：．

（2）由可知的取值为10，30，50．

可有，

．

故的分布列为：

10

30

50

考点：次独立试验中事件恰好发生次的概率及离散型随机变量的分布列和数学期望.