Question

在一条笔直公路上有A，B两地，甲骑自行车从A地到B地，乙骑着摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲乙两人离A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：

（1）直接写出y_甲，y_乙与x之间的函数关系式（不必写过程），求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；

（2）若两人之间的距离不超过5km时，能够用无线对讲机保持联系，求在乙返回过程中有多少分钟甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；

（3）若甲乙两人离A地的距离之积为f（x），求出函数f（x）的表达式，并求出它的最大值．

Answer

（1）M（，），甲乙经过h第一次相遇，此时离A距离km；（2）甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；（3）可得f（x）的最大值为f（2）=1600．

【解析】

试题分析：（1）由图形，结合一次函数的解析式的求法，可得所求解析式；再令y甲=y乙，求得M的坐标，进而得到几何意义；

（2）令y甲﹣y乙≤5，解不等式可得x的范围，进而得到所求结论；

（3）运用分段函数的形式写出f（x），再由二次函数的最值的求法，即可得到所求的最大值．

【解析】
（1）y甲=20x，0≤x≤2；y乙=，

令y甲=y乙，可得20x=40﹣40x，解得x=，

进而y甲=y乙=，即有M（，），

M的坐标表示：甲乙经过h第一次相遇，此时离A距离km；

（2）乙返回过程中，当1＜x≤2时，乙与甲相距5km之内，

即y甲﹣y乙≤5，即为20x﹣（40x﹣40）≤5，解得x≥，即≤x≤2，

则（2﹣）×60=15分钟，甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；

（3）f（x）==

=，

当0＜x≤1时，f（x）的最大值为f（）=200；

当1＜x≤2时，f（x）递增，f（2）为最大值，且为1600．

综上可得f（x）的最大值为f（2）=1600．

考点：函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．