Question

已知四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，E，F分别是线段AB，BC的中点，PA⊥平面ABCD．

（1）求证：DF⊥平面PAF；

（2）若∠PBA=45°，求三棱锥C﹣PFD的体积；

（3）在棱PA上是否存在一点G，使得EG∥平面PFD，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）．（3）．

【解析】

试题分析：（1）由勾股定理的逆定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD得PA⊥DF，故而DF⊥平面PAF；

（2）根据PA⊥AB，∠PBA=45°可得PA=1，把△CDF作棱锥的底面，则PA为棱锥的高；

（3）过E作EH∥DF交AD于H，过H作HG∥PD，则平面EGH∥平面PDF，根据长方形的性质和平行线等分线段成比例定理可求得的值．

【解析】
（1）在矩形ABCD中，∵F是BC的中点，AB=1，AD=2，

∴AF=DF=，∴AF2+DF2=4=AD2，

∴DF⊥AF．

∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，

∴PA⊥DF，

又∵PA⊂平面PAF，AF⊂平面PAF，PA∩AF=A，

∴DF⊥平面PAF．

（2）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

∴PA⊥AB，∵∠PBA=45°，

∴PA=AB=1．

∴三棱锥C﹣PFD的体积V=S△CDF×PA==．

（3）过E作EH∥DF交AD于H，过H作HG∥PD，

则平面EGH∥平面PDF，

∴EG∥平面PDF．

∵EH∥DF，∴，

又∵HG∥PD，∴．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．