Question

已知函数是奇函数，且．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）函数f（x）在（0，1）上是增函数

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求函数f（x）的解析式可根据函数是奇函数得出等式f（﹣x）=﹣f（x），及建立方程，两者联立可求出函数的解析式．

（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性，要设0＜x1＜x2＜1，再f（x1）﹣f（x2）的符号，依据定义判断出结论即可．

【解析】
（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以对定义域内的任意x，都有∴f（﹣x）=﹣f（x），

即（2分）

整理得q+3x=﹣q+3x，所以q=0．又因为，

所以，解得p=2．

故所求解析式为．（6分）

（Ⅱ）由（1）得．

设0＜x1＜x2＜1，

则．

因为0＜x1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1，x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，

从而得到f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

所以函数f（x）在（0，1）上是增函数．（14分）

考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．