Question

已知F₁（﹣2，0），F₂（2，0），点P满足|PF₁|﹣|PF₂|=2，记点P的轨迹为E．

（1）求轨迹E的方程；

（2）若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点．

（i）无论直线l绕点F₂怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．

（ii）在（i）的条件下，求△MPQ面积的最小值．

Answer

（1）．（2）（i）当m=﹣1时，MP⊥MQ．（ii）综上可知S△MPQ≥9，故S△MPQ的最小值为9．

【解析】

试题分析：（1）利用双曲线的定义及其标准方程即可得出；

（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x﹣2），P（x1，y1），Q（x2，y2），与双曲线方程联立消y得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3=0，利用根与系数的关系、判别式解出即可得出．

（i）利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出；

（ii）利用点到直线的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出．

【解析】
（1）由|PF1|﹣|PF2|=2＜|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，

由c=2，2a=2，∴b2=3，

故轨迹E的方程为．

（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x﹣2），P（x1，y1），Q（x2，y2），

与双曲线方程联立消y得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3=0，

∴，解得k2＞3

（i）∵

∵MP⊥MQ，∴，

故得3（1﹣m2）+k2（m2﹣4m﹣5）=0对任意的k2＞3恒成立，

∴．∴当m=﹣1时，MP⊥MQ．

当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，﹣3）及M（﹣1，0）知结论也成立，

综上，当m=﹣1时，MP⊥MQ．

（ii）由（i）知，M（﹣1，0），当直线l的斜率存在时，，M点到直线PQ的距离为d，则

∴

令k2﹣3=t（t＞0），则，因为

所以

当直线l的斜率不存在时，

综上可知S△MPQ≥9，故S△MPQ的最小值为9．

考点：圆锥曲线的轨迹问题；双曲线的简单性质．