Question

在五棱锥P﹣ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=2a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°

（1）求证：PA⊥平面ABCDE；

（2）求二面角A﹣PD﹣E的正弦值．

Answer

（1）见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用勾股定理的逆定理和线面垂直的判定定理即可证明；

（2）过E作EH⊥AD于H，EF⊥PD于F，连接FH，利用线面垂直的判定定理可得EH⊥平面PAD，FH⊥PD．于是∠EFH为二面角A﹣PD﹣E的平面角．又在Rt△AED和Rt△POE中，利用等积变形和边角关系即可得出．

（1）证明：在△PAB中，PA=2a，PB=2a，AB=2a

∴PB2=PA2+AB2，∴PA⊥AB，

同理可证：PA⊥AE．

又AB∩AE=A，AB⊂平面ABCDE，AE⊂平面ABCDE

∴PA⊥平面ABCDE．

（2）过E作EH⊥AD于H，EF⊥PD于F，连接FH，

则EH⊥平面PAD，FH⊥PD．

∴∠EFH为二面角A﹣PD﹣E的平面角．

又在Rt△AED和Rt△POE中，EH•AD=AE•DE，EF•PD=DE•PE．

∴EH=a，EF=a．

∴sin∠EFH==．

故二面角A﹣PD﹣E的正弦值为．

考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．