Question

已知抛物线C：y²=12x与点M（﹣3，4），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k的值为     ．

Answer

【解析】

试题分析：由已知可求过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣3），然后联立，可得，k2x2﹣2（6+3k2）x+9k2=0，可表示x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，由，代入整理可求k．

【解析】
∵抛物线C：y2=12x的焦点F（3，0），

∴过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣3），

联立，可得，k2x2﹣2（6+3k2）x+9k2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=9

∴y1+y2=k（x1+x2﹣6）=，y1y2=k2（x1﹣3）（x2﹣3）=k2[x1x2﹣3（x1+x2）+9]=﹣36，

∵M（﹣3，4），

∴=（x1+3，y1﹣4），=（x2+3，y2﹣4），

∵，

∴（x1+3）（x2+3）+（y1﹣4）（y2﹣4）=0，

整理可得，x1x2+3（x1+x2）+y1y2﹣4（y1+y2）+25=0，

∴9+3×﹣36﹣4×+25=0，

∴k=．

故答案为：．

考点：抛物线的简单性质．