Question

到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（  ）

A．直线    B．椭圆    C．抛物线    D．双曲线

Answer

D

【解析】

试题分析：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和z=a代入即可求得x和y的关系，根据其方程判断轨迹．

【解析】
先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程就分别是y=0，z=0 和x=0，z=a（a是两异面直线公垂线长度，是个常数）

空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）

那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即

=

两边平方，化简可得z=（y2﹣x2+a2）

过一条直线且平行于另一条直线的平面是z=0和z=a

分别代入所得式子

z=0时

代入可以得到y2﹣x2=﹣a2，图形是个双曲线

z=a时

代入可以得到y2﹣x2=a2，图形也是个双曲线

故选D

考点：抛物线的定义；双曲线的标准方程．