Question

如图，M是抛物线上y²=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．

（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；

（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．

Answer

（1）见解析；（2）y2=x﹣（x＞）

【解析】

试题分析：（1）可用待定系数法设出两直线的方程，用参数表示出两点E，F的坐标，用两点式求了过两点的直线的斜率，验证其是否与参数无关，若无关，则说明直线EF的斜率为定值．

（2）设出点M的坐标，如（1）用参数表示出点E，F的坐标，再由重心坐标与三角形的三个顶点的坐标之间的关系将其表示出来，消参数即可得重心的方程．

【解析】
（1）设M（y02，y0），直线ME的斜率为k（k＞0），则直线MF的斜率为﹣k

直线ME的方程为y﹣y0=k（x﹣y02），由

消去x得ky+ky0﹣1=0，解得yE=，xE=

同理可得yF=，xF=

∴kEF=，将坐标代入得kEF=﹣（定值）

所以直线EF的斜率为定值．

（2）当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1

∴直线ME的方程为：y﹣y0=x﹣y02，

由得E（（1﹣y0）2，1﹣y0）

同理可得F（（1+y0）2，﹣（1+y0）），

设重心为G（x，y），则有

代入坐标得

消去参数y0得y2=x﹣（x＞）

考点：直线的倾斜角；轨迹方程；抛物线的应用．