Question

抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交C₁于第一象限的点M．若C₁在点M处的切线平行于C₂的一条渐近线，则p=（  ）

A．    B．    C．    D．

Answer

D

【解析】

试题分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．

【解析】
由抛物线得x2=2py（p＞0），

所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．

由得a=2，b=1，c=3．

所以双曲线的右焦点为（3，0）．

则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为x+3y﹣p=0①．

设该直线交抛物线于M（x0，），则C1在点M处的切线的斜率为．

由题意可知=，得x0=p，代入M点得M（p，）

把M点代入①得：×p+3×﹣p=0．

解得p=．

故选：D．

考点：抛物线的简单性质．