Question

函数f（x）的定义域为D，函数g（x）的定义域为E．规定：函数

（Ⅰ）若函数，写出函数h（x）的解析式；

（Ⅱ）判断问题（Ⅰ）中函数h（x）在（1，+∞）上的单调性；

（Ⅲ）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈（0，π），请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并给予证明．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）h（x）在（1，2）上单调递减，h（x）在（2，+∞）上单调递增．（Ⅲ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据函数的定义即可得到结论．

（Ⅱ）根据函数单调性的定义进行判断证明即可；

（Ⅲ）根据三角函数的关系进行解方程即可．

【解析】
（Ⅰ）∵f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），g（x）的定义域为R，

∴

（Ⅱ）当x＞1时，

任意取x1＜x2∈（1，+∞），

则，

∵

①当x1＜x2∈（1，2）时，x1x2﹣（x1+x2）＜0，即h（x1）﹣h（x2）＞0，

∴h（x1）＞h（x2），故，h（x）在（1，2）上单调递减．

②当x1＜x2∈（2，+∞）时，x1x2﹣（x1+x2）＞0，即h（x1）﹣h（x2）＜0，

∴h（x1）＜h（x2），故，h（x）在（2，+∞）上单调递增．

综上，h（x）在（1，2）上单调递减，h（x）在（2，+∞）上单调递增．

（Ⅲ）由函数y=f（x）的定义域为R，得g（x）=f（x+α）的定义域为R，

∴对于任意x∈R，都有h（x）=f（x）g（x）

即对于任意x∈R，都有cos4x=f（x）f（x+α），

∴我们考虑将cos4x分解成两个函数的乘积，

而且这两个函数还可以通过平移相互转化cos4x=cos22x﹣sin22x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=，

∴可取，即可．

（答案不唯一）

考点：函数单调性的性质．