Question

已知函数．

（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期T；

（Ⅱ）求使f（x）≥0时，x的取值范围；

（Ⅲ）是否存在最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后成为偶函数？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠kπ（k∈Z）}，f（x）的最小正周期．

（Ⅱ）x的取值范围为：．

（Ⅲ）存在最小正实数，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后为偶函数．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由sinx≠0，可求f（x）的定义域，利用三角函数周期公式可求f（x）的最小正周期．

（Ⅱ）由f（x）≥0知，，得，即可解得x的取值范围．

（Ⅲ）f（x）的图象向左平移m个单位后得到的函数为，该函数为偶函数，则需满足，从而解得m的值，即可得解．

【解析】
（Ⅰ）

=，

∴由sinx≠0知，x≠kπ（k∈Z），

∴f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠kπ（k∈Z）}，

f（x）的最小正周期．

（Ⅱ）由f（x）≥0知，即，

∴，即，

∴f（x）≥0时，x的取值范围为：．

（Ⅲ）函数f（x）的图象向左平移m个单位后得到的函数为，

即，

若要使该函数为偶函数，则需满足，

∴，

∴存在最小正实数，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后为偶函数．

考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．