Question

如图，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁，A₁A的中点；

（1）

（2）求CB₁与平面A₁ABB₁所成的角的余弦值．

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：结合已知条件建立空间坐标系通过空间向量求解，（1）中证明两直线垂直只需证明两直线的方向向量垂直，（2）中首先求解斜线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值，进而得到线面角的正弦值

试题解析：如图，建立空间直角坐标系O—xyz．

（1）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}．

∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M．

（2）【解析】
依题意得，C（0，0，0），B1（0，1，2），C1（0，0，2）、M（，2）

∴ ={0，1，2，}，={，0}

又⊥面ABB1A1

∴为平面ABB1A1的法向量

∴cos<，>==

∴ CB1与平面A1ABB1所成的角的余弦值为

考点：1．直线垂直的判定；2．线面所成角