Question

如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；  

Answer

（1）详见解析（2）45°

【解析】

试题分析：（I）证明直线BD所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直，进而得到线面垂直；（II）由题意求出两个平面的法向量，求出两个向量的夹角，进而转化为二面角P-CD-B的平面角即可

试题解析：方法一：证：⑴在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC．

∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA ．又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面PAC．

（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD， ∴CD⊥PD，

知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角． 又∵PA=AD，∴∠PDA=450 ．

方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．

在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴

∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．

（2）由（1）得．

设平面PCD的法向量为，则，

即，∴ 故平面PCD的法向量可取为

∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量．

设二面角P—CD—B的大小为，依题意可得 ．

∴=45°

考点：1．线面垂直的判定；2．二面角求解