Question

已知函数，其中，为自然对数的底数．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，求证：对任意的，．

Answer

（1）函数是在上单调递减；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）当时，，求导得，研究其单调性只需要判断导函数的符号，由于，所以只需要研究的符号即可；（2）因为，所以要证明，只需要证明，即证明，对求导研究其单调性，找出最大值点，即可证得结论．

试题解析：（1）当时，，

，

当时，，，在是单调递减的函数．

（2）设，

，令，则

当时，，有，在上是减函数，

即在 上是减函数．

又，，存在唯一的，使得， 所以当时，，在区间单调递增；

当时，，在区间单调递减．因此在区间

因为，所以，将其代入上式得

令，则，即有,

因为的对称轴，所以函数在区间上是增函数，且

所以，（），即任意，，所以，因此任意，

考点：利用导数研究函数的单调性及导数在研究函数的最值中的应用．

【方法点晴】本题考查了利用导数研究的单调性以及导数在研究函数给定区间上的最值问题，综合性很强，属于难题．本题解答的技巧在于：根据指数函数的值域，（1）把研究的对象转化为正弦型函数的值域，体现了化难为易的解题原则，（2）把证明的不等式转化为研究函数在区间上的最大值．解答的难点在于（2）中需要二次求导即对再次求导，得到的单调性后设出的极值点，通过讨论最终得证．